ベルヌーイ多項式とは

 

ベルヌーイ多項式とは

ベルヌーイ多項式は、数学において多くの特殊関数の研究、特にリーマンのゼータ関数やフルヴィッツのゼータ関数の研究において現れる多項式です。

ベルヌーイ多項式の定義

n次のベルヌーイ多項式Bn(x)は、以下の式で定義されます。

Bn(x) = Σ_(k=0)^n (nCk) * B_k * x^(n-k)

ここで、

• B_k は k次のベルヌーイ数
• (nCk) は n個からk個選ぶ二項係数

です。

ベルヌーイ多項式の性質

ベルヌーイ多項式には、以下のような性質があります。

• Bn(0) = B_n
• Bn(1) = B_n + 1
• B_n'(x) = nBn-1(x)
• ∫Bn(x)dx = xBn+1(x) / (n+1) + C

ここで、

• B_n は n次のベルヌーイ数
• B_n'(x) は Bn(x) の導関数
• C は積分定数

です。

ベルヌーイ多項式の応用

ベルヌーイ多項式は、以下のような分野に応用されています。

• 数論
• 解析学
• 統計学
• 計算機科学

具体的には、

• リーマンのゼータ関数の研究
• フルヴィッツのゼータ関数の研究
• オイラー・マクローリンの和公式
• ニュートン・コーツの求積公式

などに用いられています。

ベルヌーイ多項式の参考資料

ベルヌーイ多項式について詳しく学びたい場合は、以下の参考資料を参照してください。

• Wikipedia: ベルヌーイ多項式: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
• MathWorld: Bernoulli Polynomial: https://mathworld.wolfram.com/BernoulliPolynomial.html
• PlanetMath: Bernoulli Polynomial: [無効な URL を削除しました]