分母の有理化とは？

分母の有理化とは、分数式の分母に根号（√）が含まれているときに、その根号を消去して、分母を有理数（分数で表せる数）にする操作のことです。

なぜ有理化するのか？

• 計算の簡略化: 分母が有理数になっている方が、計算を進めやすくなります。
• 式の標準化: 分母を有理化することで、式の見た目が統一され、比較や計算がしやすくなります。

有理化のやり方

一般的に、分母に√aが含まれている分数に対して、分子と分母に√aを掛けることで有理化します。これは、√a × √a = aとなる性質を利用しています。

例題

1/√2 を有理化してみましょう。

• 分子と分母に√2を掛ける： (1/√2) × (√2/√2)
• 計算すると： √2/2

このように、分母が√2から2に変わって、有理化されました。

もう少し複雑な例

1/(√3 + 1) を有理化してみましょう。

この場合は、分母と分子に (√3 - 1) を掛けることで、分母の√が消去できます。

• (1/(√3 + 1)) × ((√3 - 1)/(√3 - 1))
• 分母を展開すると、 (√3)^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 となります。
• 計算すると： (√3 - 1)/2

ポイント

• 分母が (√a + √b) の形をしている場合は、(√a - √b) を、(√a - √b) の形をしている場合は、(√a + √b) を掛けることで有理化できます。
• 分母が2重根号になっている場合は、一度外側の根号を消してから、内側の根号を消すようにします。

なぜそうなるの？

分母と分子に同じ数を掛けるのは、分数全体に1を掛けることと同じなので、分数の値は変わりません。この操作によって、分母に含まれる√をうまく消去し、有理化を実現しているのです。

練習問題

以下の分数を有理化してみましょう。

• 1/√5
• 2/(√3 - 1)
• 3/(√2 + √5)

まとめ

分母の有理化は、一見複雑に見えますが、基本的な考え方を理解すれば、様々な問題に対応できます。練習問題を解きながら、この考え方を身につけていきましょう。

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